此篇的内容为观看Ray Tracing Course多遍后并结合部分PBRT原文的笔记内容

Radiometry

Radiant Flux

$\phi ~ [W] / [J/s]$

之所以不使用辐射通量的原因是因为我们无法分辨究竟：「大量的能量穿过了一个小面积区域」or 「较少的能量穿过了一个大面积区域」（这里能量的多少指代平均面积上能量的分布）

Irradiance

$E ~ [W / m^2]$

又称入射辐射面密度

不使用辐照度的原因是，无法分辨:「大量能量的入射角较大」or「少量能量的入射角较小」情况

Radiance

$L ~ [W / m^2 \ldotp sr]$

sr表示单位角，在更高纬度的情况而言，又称为solid angle，单位为立体弧度

BRDF

$f_r(p,{\omega }_o,{\omega }_i)=\frac{d{L}_o(p,{\omega }_o)}{dE(p,{\omega }_i)}=\frac{d{L}_o(p,{\omega }_o)}{L_i(p,{\omega }_i)\cos {\theta }_{i}d{\omega }_i}$
f_r(p, \omega_o, \omega_i) = \frac{dL_o(p, \omega_o)}{dE(p, \omega_i)} = \frac{dL_o(p, \omega_o)}{L_i(p, \omega_i)\cos\theta_id \omega_i}

本质上BRDF就是用来描述「有多少从$w_i$方向入射的光从方向$w_o$上反射出去的函数」

BRDF个人觉得可以多层次解读，首先，BRDF讲解了入射光和反射光的概率密度分布，因为他本质上只是一个入射辐射度和出射辐射度的比例（也就是返回值）;另一个角度而言，在给定了入射方向$w_i$时，BRDF也负责计算出射方向$w_o$的概率。

Fresnel’s law + Snell’s Law

菲涅尔公式的作用是计算入射光时，发生反射和折射的概率计算，也可以被认为是入射光能量分布情况，而斯奈尔法则则是确定入射光之后的折射光和反射光角度计算

Snell’s Law中展示出的全反射现象，只会出现在光从光疏介质到光密介质的情况下下。

Surface Normal

面法线的计算本质上就是求解给定曲面指定点上的梯度$\nabla f(x, y) = 0$，给定双曲面$f(x, y, z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z$，其中$a, b$为给定的双曲面的曲率，因此给定点$(x, y, z)$求解面法线，$\nabla f(x, y ,z) = (\frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{b^2}, -z)$就是所求梯度。

F-Stop

对于焦比的科普可以参考A Simple Explanation of F-Stop

本质上从光学上理解，景深的就是因为快门的开关之间进光量的多少造成的。因此例如视频中讲解的$\frac{Focal}{x} = Diameter$,实际单反的$f/1.4$之类的写法本质上就是用于给出光圈大小。

但因为同样的光圈大小也可能因为焦距不同导致进光量有所不同，因此不直接给出$Diameter$的具体值，而是给出类似$f/2.0$之类的写法。

而进光量越大，通过透镜的光子也就越多，非焦距上的物体边缘也就显得越模糊，换一种说法就是用于描述非焦距上的物体的光子也就越多。

Monte Carlo Integration

$E_N\left[f\right(x\left)\right]={\int }_a^{b}f\left(x\right)p\left(x\right)dx=\underset{}{\lim }\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f\left(X_i\right)$
E_N[f(x)] = \int^b_a f(x)p(x)dx = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}\sum^N_{i=1}f(X_i)

X代表在$f(x)$上的N个随机采样，记为$X_i$

因此本质上使用无意识的统计规律算法，对与原始的$\int_a^bf(x)dx$进行变换(可见PBRT)

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)}{p\left(x\right)}p\left(x\right)dx=E\left[\frac{f\left(x\right)}{p\left(x\right)}\right]=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f\left(X_i\right)}{p\left(X_i\right)}$
\int^b_af(x)dx = \int^b_a\frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx = E[\frac{f(x)}{p(x)}] = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\frac{f(X_i)}{p(X_i)}

Importance Sampling

最佳的重要性采样(最小的方差)，就是函数$f(x)$上的每一个采样点的采样概率，都与其函数值成比例即可($p(X_i) \propto f(X_i)$)

因此一个较佳的$p(\vec{w_i'})$本质上就是与被积函数成比例的函数，如若选择一个均匀概率分布函数，那么就是非重要性采样和重要性采样之间的差距了

例如 $p(\vec{w_i}') = \frac{cos\theta}{\pi}$，简化渲染方程的计算(BRDF采用最简单的漫反射模型$f_r(p, w_i, w_o) = \frac{\rho}{\pi}$.

$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{L_i(x,{\overrightarrow{w_i}}^{\mathrm{\prime }})\rho \mathrm{/}\pi cos\theta }{cos\theta \mathrm{/}\pi }=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{L}_i(x,{\overrightarrow{w_i}}^{\mathrm{\prime }})\rho$
\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}\frac{L_i(x, \vec{w_i}')\rho/\pi cos\theta}{cos\theta/\pi} = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1}L_i(x, \vec{w_i}')\rho

配图为康奈尔盒